「完全加法族」とは?
数学において、完全加法族（かんぜんかほうぞく、completely additive class）あるいは可算加法族（かさんかほうぞく、countably additive class）とは、集合 S の部分集合からなる族 X であって、可算回の加法、乗法と補演算という集合演算について閉じていて、加法についても乗法についても単位元を持つようなもののことである。
（和の）可算性を表すためにしばしば接頭辞
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- 完全加法族では可算加法性と可算乗法性が補集合を取る操作を通じて同値になるので区別されないが、（乗法族における）積の可算性が -集合など。
- 加法族の名称は、和集合（あるいは対称差）をとる演算と補集合をとる演算という加法的な集合演算について閉じていることによる（cf. アーベル群）。また、集合体、（集合）代数の名称は、和集合あるいは対称差をとる演算を加法、共通部分をとる演算を乗法とする（ブール的な）多元環構造 を考えることができるということに由来する。このように何を基礎の公理にするかといった意識の違いから、名称の違いのみならず、いくつかの見た目の異なる定義が採用されることがあるが、結局は同値な概念であることが確かめられる。
- 接頭辞をつけずに単に加法族と呼ぶ場合、有限加法族を指す場合と完全加法族を指す場合とがあるため、文脈に注意が必要である。
「完全加法族」の目次
- 定義
- 例
- その他の構造
- 関連項目
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