「アイソスピン」とは?

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アイソスピン (^2 = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{3}{4}

\vec{I}_z = \begin{pmatrix}

\frac{1}{2} && 0 \\ 0 && -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
である。
また、ハドロンに共通する法則として、

電荷 = アイソスピンの成分 + 超電荷/2

が成立し、これを中野・西島・ゲルマンの法則という。
量子数
素粒子力学

この立場に立って考えると、アップクォーク(u)とダウンクォーク(d)は本来、1つの粒子qの電荷が異なる状態と見なすのが自然と見なせる。
場、u(x)とd(x)を1組の行列として表すと、

\mathbf{q}(x) = {u(x) \choose d(x)}

ここで、u、dを（複素）2次元ベクトル空間の座標とみなす。

この空間はアイソスピン空間と呼ばれ、普通の空間と区別して、内部空間と呼ばれる。
ここで、アイソスピン空間における座標変換

\mathbf{q} \rightarrow \mathbf{q}^\prime = U\mathbf{q}

を考える。Uは2*2のユニタリ行列であり、変換Uの全体は群U(2)を作る。

この中で

detU = 1

を満たすものに限ると、群SU(2)が得られる。
2*2のユニタリ行列Uは2*2のエルミート行列

\mathbf{\tau}^1 = \begin{pmatrix}

0 && 1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix}

\mathbf{\tau}^2 = \begin{pmatrix}

0 && -i \\ i && 0 \end{pmatrix}

\mathbf{\tau}^3 = \begin{pmatrix}

1 && 0 \\ 0 && -1 \end{pmatrix}
を用いて表すことができるから、角度を

\vec{\omega}

とすると、

U = exp(\vec{\omega}\cdot\vec{\mathbf{\tau

/2)

である。
ここで、

\vec{I} = \frac{1}{2}\vec{\mathbf{\tau

とすると、

\vec{I}^2

I(I + 1)

、

\vec{I}_z

の固有値は、

I, -(I + 1) , \cdots , (I - 1) , I

（ここでIは整数または半整数）となる。
u、dクォークのアイソスピンの絶対値は1/2であるから、

\vec{I}^2 = \frac{1}{4}\vec{\mathbf{\tau

「アイソスピン」の目次

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出典:ﾌﾘｰ百科事典『Wikipedia』/GFDL準拠